Запись целых чисел в двоичной системе счисления

Настало время разобраться, каким же образом можно записывать любые целые числа с помощью двоичной системы счисления, т. е. с помощью всего двух цифр "0" и "1".

Замечание

Разумеется, что записывать можно не только целые, но и дробные, а также любые другие числа, однако это выходит за рамки, необходимые для того, чтобы в конечном счете

понять, как происходит кодирование и обработка любой интересующей нас информации, в частности изображений и цвета. Пока же мы не выходим за рамки арифметики, поэтому — терпение: мы уже на пути к этому.

Исходя из этой задачи, попробуем составить таблицу чисел, которые "состоят" из цифр "0" и "1".

Замечание

Как эту задачу можно определить "обычными" словами (наука наукой, однако за скучными, точными фразами надо уметь находить обычный план изложения)? То, что мы сказали ("кодировать в двоичной системе счисления"), на самом деле означает — "как с помощью всего двух цифр написать любое целое число". Можно также сформулировать нашу задачу фразой "как преобразовать десятичные числа в двоичные".

Тогда давайте, рассуждая, заполнять строки таблицы, у которой в левом столбце будут располагаться привычные нам десятичные числа, а в правом — их эквивалент в двоичной системе счисления (табл. 4.2).

С нуля начинается числовая ось натуральных целых чисел. Последующие целые числа получаются с помощью последовательного прибавления единицы к предыдущему числу.

Итак, число "ноль" в десятичной и двоичной системах счисления совпадает и обозначается одной и той же цифрой "О".

Далее переходим к единице, которая получается прибавлением единицы к нулю. В двоичной системе счисления, как и в десятичной, используется также одна и та же цифра "1".

Замечание

Еще раз напомним, что "цифра" и "число" не всегда совпадают. Цифра — это просто знак, количество цифр ограничено. Число — это математическая категория количества, чисел бесконечное множество.

Таблица 4.2. Начало таблицы преобразования десятичных чисел в двоичные

	Десятичная система счисления	Двоичная система счисления
	0 1	0 1

Затем любой первоклассник скажет, что после единицы на числовой оси следует двойка, получаемая прибавлением еще одной единицы.

Для обозначения числа "два" в десятичной системе счисления предусмотрен специальный знак — цифра "2". А в двоичной системе счисления весь, прямо скажем, небогатый запас знаков ("цифр") мы уже исчерпали. Как же быть в этой ситуации?

Читатели, надеюсь, не обидятся, если мы снова напомним некоторые сведения первого класса начальной школы. Итак, вспомним сложение.

2+1 = 3;

8 + 1 = 9;

9 + 1 = ...

Мы получили число "9" и попытались к нему прибавить "1". Почему же мы остановились? У нас опять кончились цифры! До этого момента каждое число получало свой особенный знак или символ — цифру. Последовательно прибавляя "1", мы каждый раз использовали для этого шага особый знак.

И вот после числа "9" особые знаки закончились. Цифр больше нет, а числа-то продолжают возрастать, т. к. числовая ось бесконечна...

Теперь следует вспомнить позиционный принцип, который мы обсуждали ранее, попробуем применить его и к двоичной системе счисления.

Информация о позиционном принципе — в разд. "Позиционный метод записи" данной главы.

Арифметика едина, и все ее законы едины, независимо от системы счисления. У нас есть только две цифры, но с их помощью необходимо уметь записывать любое число, расположенное на длинной числовой оси.

Когда закончились двоичные цифры, надо снова начинать с нуля, записав в следующую позицию "единицу". Рассуждая таким образом, мы получаем, что десятичное число "2" у нас будет представлено двоичным числом "10", т. е. "двоичной десяткой":

1₂ + 1 = 10₂.

Далее, число "3" десятичной системы станет в двоичной системе числом "11", т. к.

10₂+ 1 = 11₂.

Замечание

Не следует удивляться тому, что в десятичной записи число "3" представлено одной цифрой (одноразрядное), а в двоичной ("11") оно представлено двумя цифрами (двухразрядное). Более того, следует учесть, что далее этот разрыв будет увеличиваться.

Следующий шаг снова требует внимания:

11₂+ 1 = ...

Теперь к числу "И" в двоичной системе прибавляем "1": сумма "1 + 1" дает "0", но мы при этом переносим "1" в следующий разряд. В следующем разряде снова получается сумма "1 + 1", т. е. опять "О", значит, создаем еще один разряд и переносим единицу в этот разряд — в итоге получается двоичное число "100", т. е. "двоичная сотня":

11₂+ 1 = 100₂.

Десятичное число "4" в двоичной системе представляется числом "100".

Далее, десятичное число "5" — это двоичное число "101", десятичное число "6" — это двоичное число "110", а десятичное число "7" — это двоичное число "111".

Снова добавляется разряд, следовательно, десятичное число "8" — это уже двоичное число "1000" ("двоичная тысяча"), десятичное число "9" — это двоичное число "1001" и, наконец, десятичное число "10", у него два разряда, представляется двоичным числом "1010", у которого четыре разряда. И так далее (до бесконечности).

Подводя итог математическому упражнению для первого класса, мы можем составить таблицу соответствий десятичных и двоичных чисел, например, в пределах первых двух десятков десятичной системы счисления (табл. 4.3). Читатели, при желании, могут продолжать ее, пока хватит терпения.

Таблица 4.3. Соответствие десятичных и двоичных чисел

	Десятичное число	Двоичное число	Десятичное число	Двоичное число
	0	0	11	1011
	1	1	12	1100
	2	10	13	1101
	3	11	14	1110
	4	100	15	1111
	5	101	16	10000
	6	110	17	10001
	7	111	18	10010
	8	1000	19	10011
	9	1001	20	10100
	10	1010

Содержание раздела